解一個分式方程, 有時間會出現增根. 顧名思義, 求出的解多了. 它產生的原因在哪？

我們先看一看初中教材的說法, 例：. 方程兩邊同乘以, 約去分母, 得. 解這個方程, 得~.

教材在此的解釋是：在分式方程形變成整式方程時, 同乘以一個含有未知數的整式, 并約去了分母, 有時可能產生不適合原分式方程的解(或根), 這種根通常叫增根. (怎么不叫增解呢？有待于進一步考證.)

在教學中也舉過例子：因為?, 所以?. 因此得?. 從解題角度, 這的確是畫蛇添足的做法. 但從理解解方程求解過程來說, 此過程的確展示了解方程的邏輯. 從命題觀點看, 通常的解方程過程, 是在找必要條件, 而題目本身是要求出充分必要條件.

與一些教師們交流, 教師們指出上述做法不是恒等變形(或形變). 先不說這幾個詞來源在哪, 其含義對于初中學生來說是難以領會. 從數學內容上說, 與“出現增根”差不多.

再回到最開始的問題:

解方程,

移項并通分, 得?,

即,

上式成立, 必有分母非零而分子為零, 顯然方程無解.

對教材的寫法做對比, 我們可以看出增根的出現, 是由于解法不當. 最簡單的方程?, 先平方一下的解法也會出現增根.

在分式方程中出現增根, 的確主要原因是由于去分母的過程. 令人不解的是：為什么不介紹給學生用通分、而不去分母的方法呢？況且這時學生恰好剛剛學完分式的基本運算.

驗根來避免增根在數學上是正確的, 但帶來的負面影響卻是：（1）讓學生誤認為增根是分式方程帶來的, （2）讓老師忽略了解方程的邏輯.

蘇聯時期的著名數學教育學者斯托利亞爾, 在討論學生學習方程的時候, 就反問到：“不知道什么是方程, 也能解方程, 這種技能的價值何在？” 其實在上世紀中期的教學大綱中就有“結合方程與不等式的學習, 自然地給學習介紹邏輯概念”之說.

如何解釋方程, 不見得要定論, 但下面的問題是不應該出現的：分式方程??有增根．（1）這個增根是什么？（2）求m 的值．

增根是由于方法不當而出現, 這一點要明確.

與之相關, 有人提出這樣的問題：與聯立并消元得, 由韋達定理得,為什么會有負值？從圖像上, 我們不難想出拋物線與單位圓有兩個交點. 而由對稱性, 兩交點的縱坐標是正數. 其實, 解方程還要明確解所在的數集, 在實數集中有兩組解, 而在復數中有四組解. 在復數集中, 關系式?是沒錯的.

一次方程組的解的結構, 數學家們早已理解清楚了. 更高次的多項式方程組（分式方程組也導出這類方程組）, 解的個數是多少？這其實一個數學上的大問題, 著名數學家希爾伯特在上世紀初提出了引領數學發展的23個問題, 其中的第15問題就是針對高次的多項式方程組：解有多少, 如何系統地求解？