1. 什么是域

伽羅瓦提出一種名為有限域（finite field，日語將其稱為有限體）的理論。在為大家做具體介紹之前，我先來講講什么是域。我們從上小學(xué)開始就不斷學(xué)習(xí)與數(shù)有關(guān)的知識，想必大家一定已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，學(xué)習(xí)中接觸到的數(shù)的種類在逐漸增加。我們最先接觸自然數(shù) 1, 2, 3, ……，然后是 2/3、3/4 等分?jǐn)?shù)和 1.5、0.04 等小數(shù)，再后來又學(xué)習(xí)了 ?2、-5 等負(fù)數(shù)。

接下來會接觸到諸如正方形對角線的長度等，像 √2 這樣的無理數(shù)。無理數(shù)無法用分?jǐn)?shù)表示。

數(shù)自身不斷進(jìn)化，其種類也不斷增加。這究竟是為什么呢？當(dāng)然是為了方便計(jì)算。

當(dāng)大家只了解自然數(shù) 1, 2, 3,…… 的時(shí)候，雖然可以自由地進(jìn)行加法運(yùn)算，但卻無法隨意地進(jìn)行減法運(yùn)算，因?yàn)檩^小的數(shù)不能減較大的數(shù)。想讓小數(shù)減大數(shù)就要創(chuàng)造出新的負(fù)數(shù)。也就是說，只要將數(shù)的范圍擴(kuò)展至負(fù)數(shù)

…… , ?5, ?4, ?3, ?2, ?1, 0, 1, 2, 3, ……

就能自由地進(jìn)行減法運(yùn)算了。

但是，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)并不能保證除法運(yùn)算的自由進(jìn)行，例如，我們還是無法得出 2 ÷ 3 的結(jié)果。為此必須引入 2/3 這種新的數(shù)，也就是說，分?jǐn)?shù)是必需的。

包括所有正負(fù)整數(shù)和正負(fù)分?jǐn)?shù)在內(nèi)的數(shù)的集合叫作有理數(shù)，數(shù)的范圍擴(kuò)展至此，在這一范圍內(nèi)可以自由地進(jìn)行加、減、乘、除的運(yùn)算（不過，0 不能作除數(shù)）。

這種可以自由進(jìn)行加減乘除運(yùn)算的數(shù)的集合就叫作「域」。因此， 可以說全體有理數(shù)構(gòu)成了域，即下列各等式是成立的。

不過，域這個(gè)字在這里沒有什么特殊的含意。無論大家怎么查詢都不會找到域在數(shù)學(xué)中的含意。

雖然全體有理數(shù)構(gòu)成了域，但域并非僅指有理數(shù)。除有理數(shù)之外，還存在無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)共同構(gòu)成了實(shí)數(shù)，所有實(shí)數(shù)也構(gòu)成了域，即下列各等式也都成立。

所有實(shí)數(shù)都可以自由進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，因此實(shí)數(shù)也構(gòu)成了域。除此之外還有很多個(gè)域。

例如，所有具有以下這種形式的數(shù)也能構(gòu)成域。

任意選取兩個(gè)這樣的數(shù)進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，其結(jié)果也永遠(yuǎn)是上面這種形式的數(shù)。由此可知，所有具有這種形式的數(shù)構(gòu)成了域。

2. 最小的有限域

以上舉出的域只不過是無數(shù)個(gè)域中的兩三個(gè)實(shí)例，這些域中都包含著無窮多個(gè)數(shù)。不過，并不是所有域中都一定包含無窮多個(gè)數(shù)，也存在一些由有限多個(gè)數(shù)構(gòu)成的域。

由有限多個(gè)數(shù)構(gòu)成的域叫作「有限域」。由于最初研究有限域的數(shù)學(xué)家為伽羅瓦，所以我們也將有限域稱為伽羅瓦域。

在有限域中，數(shù)的個(gè)數(shù)最少為 2。

這個(gè)域就是用 (mod 2) 對整數(shù)進(jìn)行分類時(shí)的剩余類。

用 (mod 2) 進(jìn)行分類后，整數(shù)將被分為兩類，一是包含 0 的類，即偶數(shù)；二是包含 1 的類，即奇數(shù)。我們在此假設(shè)，所有偶數(shù)用 0 表示，所有奇數(shù)用 1 表示。

大家可能覺得 1 + 1 = 0 有些奇怪，但只要把它看作是奇 + 奇 = 偶的意思就很好理解了，或者也可以認(rèn)為它的意思等同于 1 + 1 ≡ 0 (mod 2)。

乘法運(yùn)算的情況如下。

具有上述 + 和 × 的計(jì)算規(guī)則的 0 和 1 的集合就構(gòu)成了域。

根據(jù)"同余式與等式"一節(jié)介紹可知，利用 (mod n) 對整數(shù)分類后，- 和 × 等各種運(yùn)算規(guī)則仍然成立。

當(dāng)然，對于 (mod 2) 應(yīng)該也成立。

另外，對于非 0 的數(shù)，也就是 1 而言，其逆元*為 1 本身，所以 ÷1 和 ×1 的結(jié)果相同。

* 通常在數(shù)學(xué)領(lǐng)域它與倒數(shù)的意思相同，指該數(shù)乘以某數(shù)等于 1 時(shí)的某數(shù)。

也就是說，{0, 1} 這個(gè)數(shù)的集合構(gòu)成了域。

3. 用 (mod 3) 進(jìn)行分類時(shí)的有限域

下面我們來看看 (mod 3) 的情況。

剩余類包含 0，1，2 這三類。加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算如下表所示。

由該表可知，由于 1 × 1 ≡ 1, 2 × 2 ≡ 1，所以 1 的逆元為 1, 2 的逆元為 2。也就是說，0 以外的數(shù)都有逆元，所以 {0, 1, 2} 構(gòu)成了域。

4. 用 mod 4 進(jìn)行分類則無法構(gòu)成有限域

接下來讓我們用 (mod 4) 進(jìn)行分類。剩余類共包含 0，1，2，3 這四類。

根據(jù)上表可知，此時(shí) 2 · 2 ≡ 0，所以 2 沒有逆元。

也就是說，因?yàn)榉?0 的 2 沒有逆元，所以不能構(gòu)成域。

5. 用 mod 5 進(jìn)行分類時(shí)的有限域

下面讓我們來試試用 (mod 5) 進(jìn)行分類。由于剩余類包含 0， 1，2，3，4，所以加法和乘法表如下。

根據(jù)乘法表可知，

由此可知，除 0 以外的其他數(shù)都有逆元。

6. 若 p 為素?cái)?shù)，則剩余類為有限域

至此，我們可以推測出當(dāng) n 為素?cái)?shù)時(shí)，(mod n) 的剩余類能構(gòu)成個(gè)數(shù)為 n 的有限域。

事實(shí)的確如此。

我們知道，當(dāng) p 為素?cái)?shù)且用 (mod p) 進(jìn)行分類時(shí)，費(fèi)馬小定理是成立的。

也就是說，對于非 0 的 a 而言，以下同余式恒成立。

在此令 a^(p-1)=a·a^(p-2)，則

由此可知，a^(p-2) 是 a 的逆元。

因此，非 0 的 a 確實(shí)總是存在逆元。由此可知，相應(yīng)的剩余類可以構(gòu)成域。例如 (mod 5)

同理可得

再如 (mod 7)

綜上，以素?cái)?shù) p 為 mod 后得到的剩余類能構(gòu)成個(gè)數(shù)為 p 的有限域，由此可知 1 個(gè)素?cái)?shù)有 1 個(gè)有限域。然而，由于素?cái)?shù)有無窮多個(gè)， 所以有限域也有無窮多種類。

7. 根據(jù)原根表找出逆元

如果我們手邊有原根表，那么就能輕松地找出逆元。例如 (mod 7)。因?yàn)樵鶠?3，所以

由此可知

也就是說，當(dāng) 3^s 表示逆元時(shí)，用 6 減去（原來的數(shù)的）指數(shù)即可得到 S。

上文節(jié)選自人郵·圖靈《數(shù)學(xué)女王的邀請：初等數(shù)論入門》, [遇見]已獲授權(quán).