1. 什么是域
伽羅瓦提出一種名為有限域(finite field,日語將其稱為有限體)的理論。在為大家做具體介紹之前,我先來講講什么是域。我們從上小學(xué)開始就不斷學(xué)習(xí)與數(shù)有關(guān)的知識,想必大家一定已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了,學(xué)習(xí)中接觸到的數(shù)的種類在逐漸增加。我們最先接觸自然數(shù) 1, 2, 3, ……,然后是 2/3、3/4 等分?jǐn)?shù)和 1.5、0.04 等小數(shù),再后來又學(xué)習(xí)了 ?2、-5 等負(fù)數(shù)。
接下來會接觸到諸如正方形對角線的長度等,像 √2 這樣的無理數(shù)。無理數(shù)無法用分?jǐn)?shù)表示。
數(shù)自身不斷進(jìn)化,其種類也不斷增加。這究竟是為什么呢?當(dāng)然是為了方便計(jì)算。
當(dāng)大家只了解自然數(shù) 1, 2, 3,…… 的時(shí)候,雖然可以自由地進(jìn)行加法運(yùn)算,但卻無法隨意地進(jìn)行減法運(yùn)算,因?yàn)檩^小的數(shù)不能減較大的數(shù)。想讓小數(shù)減大數(shù)就要創(chuàng)造出新的負(fù)數(shù)。也就是說,只要將數(shù)的范圍擴(kuò)展至負(fù)數(shù)
…… , ?5, ?4, ?3, ?2, ?1, 0, 1, 2, 3, ……
就能自由地進(jìn)行減法運(yùn)算了。
但是,負(fù)數(shù)的出現(xiàn)并不能保證除法運(yùn)算的自由進(jìn)行,例如,我們還是無法得出 2 ÷ 3 的結(jié)果。為此必須引入 2/3 這種新的數(shù),也就是說,分?jǐn)?shù)是必需的。
包括所有正負(fù)整數(shù)和正負(fù)分?jǐn)?shù)在內(nèi)的數(shù)的集合叫作有理數(shù),數(shù)的范圍擴(kuò)展至此,在這一范圍內(nèi)可以自由地進(jìn)行加、減、乘、除的運(yùn)算(不過,0 不能作除數(shù))。
這種可以自由進(jìn)行加減乘除運(yùn)算的數(shù)的集合就叫作「域」。因此, 可以說全體有理數(shù)構(gòu)成了域,即下列各等式是成立的。
不過,域這個(gè)字在這里沒有什么特殊的含意。無論大家怎么查詢都不會找到域在數(shù)學(xué)中的含意。
雖然全體有理數(shù)構(gòu)成了域,但域并非僅指有理數(shù)。除有理數(shù)之外,還存在無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)共同構(gòu)成了實(shí)數(shù),所有實(shí)數(shù)也構(gòu)成了域,即下列各等式也都成立。
所有實(shí)數(shù)都可以自由進(jìn)行加減乘除運(yùn)算,因此實(shí)數(shù)也構(gòu)成了域。除此之外還有很多個(gè)域。
例如,所有具有以下這種形式的數(shù)也能構(gòu)成域。
任意選取兩個(gè)這樣的數(shù)進(jìn)行加減乘除運(yùn)算,其結(jié)果也永遠(yuǎn)是上面這種形式的數(shù)。由此可知,所有具有這種形式的數(shù)構(gòu)成了域。
2. 最小的有限域
以上舉出的域只不過是無數(shù)個(gè)域中的兩三個(gè)實(shí)例,這些域中都包含著無窮多個(gè)數(shù)。不過,并不是所有域中都一定包含無窮多個(gè)數(shù),也存在一些由有限多個(gè)數(shù)構(gòu)成的域。
由有限多個(gè)數(shù)構(gòu)成的域叫作「有限域」。由于最初研究有限域的數(shù)學(xué)家為伽羅瓦,所以我們也將有限域稱為伽羅瓦域。
在有限域中,數(shù)的個(gè)數(shù)最少為 2。
這個(gè)域就是用 (mod 2) 對整數(shù)進(jìn)行分類時(shí)的剩余類。
用 (mod 2) 進(jìn)行分類后,整數(shù)將被分為兩類,一是包含 0 的類,即偶數(shù);二是包含 1 的類,即奇數(shù)。我們在此假設(shè),所有偶數(shù)用 0 表示,所有奇數(shù)用 1 表示。
大家可能覺得 1 + 1 = 0 有些奇怪,但只要把它看作是奇 + 奇 = 偶的意思就很好理解了,或者也可以認(rèn)為它的意思等同于 1 + 1 ≡ 0 (mod 2)。
乘法運(yùn)算的情況如下。
具有上述 + 和 × 的計(jì)算規(guī)則的 0 和 1 的集合就構(gòu)成了域。
根據(jù)"同余式與等式"一節(jié)介紹可知,利用 (mod n) 對整數(shù)分類后,- 和 × 等各種運(yùn)算規(guī)則仍然成立。
當(dāng)然,對于 (mod 2) 應(yīng)該也成立。
另外,對于非 0 的數(shù),也就是 1 而言,其逆元*為 1 本身,所以 ÷1 和 ×1 的結(jié)果相同。
* 通常在數(shù)學(xué)領(lǐng)域它與倒數(shù)的意思相同,指該數(shù)乘以某數(shù)等于 1 時(shí)的某數(shù)。
也就是說,{0, 1} 這個(gè)數(shù)的集合構(gòu)成了域。
3. 用 (mod 3) 進(jìn)行分類時(shí)的有限域
下面我們來看看 (mod 3) 的情況。
剩余類包含 0,1,2 這三類。加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算如下表所示。
由該表可知,由于 1 × 1 ≡ 1, 2 × 2 ≡ 1,所以 1 的逆元為 1, 2 的逆元為 2。也就是說,0 以外的數(shù)都有逆元,所以 {0, 1, 2} 構(gòu)成了域。
4. 用 mod 4 進(jìn)行分類則無法構(gòu)成有限域
接下來讓我們用 (mod 4) 進(jìn)行分類。剩余類共包含 0,1,2,3 這四類。
根據(jù)上表可知,此時(shí) 2 · 2 ≡ 0,所以 2 沒有逆元。
也就是說,因?yàn)榉?0 的 2 沒有逆元,所以不能構(gòu)成域。
5. 用 mod 5 進(jìn)行分類時(shí)的有限域
下面讓我們來試試用 (mod 5) 進(jìn)行分類。由于剩余類包含 0, 1,2,3,4,所以加法和乘法表如下。
根據(jù)乘法表可知,
由此可知,除 0 以外的其他數(shù)都有逆元。
6. 若 p 為素?cái)?shù),則剩余類為有限域
至此,我們可以推測出當(dāng) n 為素?cái)?shù)時(shí),(mod n) 的剩余類能構(gòu)成個(gè)數(shù)為 n 的有限域。
事實(shí)的確如此。
我們知道,當(dāng) p 為素?cái)?shù)且用 (mod p) 進(jìn)行分類時(shí),費(fèi)馬小定理是成立的。
也就是說,對于非 0 的 a 而言,以下同余式恒成立。
在此令 a^(p-1)=a·a^(p-2),則
由此可知,a^(p-2) 是 a 的逆元。
因此,非 0 的 a 確實(shí)總是存在逆元。由此可知,相應(yīng)的剩余類可以構(gòu)成域。例如 (mod 5)
同理可得
再如 (mod 7)
綜上,以素?cái)?shù) p 為 mod 后得到的剩余類能構(gòu)成個(gè)數(shù)為 p 的有限域,由此可知 1 個(gè)素?cái)?shù)有 1 個(gè)有限域。然而,由于素?cái)?shù)有無窮多個(gè), 所以有限域也有無窮多種類。
7. 根據(jù)原根表找出逆元
如果我們手邊有原根表,那么就能輕松地找出逆元。例如 (mod 7)。因?yàn)樵鶠?3,所以
由此可知
也就是說,當(dāng) 3^s 表示逆元時(shí),用 6 減去(原來的數(shù)的)指數(shù)即可得到 S。
上文節(jié)選自人郵·圖靈《數(shù)學(xué)女王的邀請:初等數(shù)論入門》, [遇見]已獲授權(quán).
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